Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Mátéfy Ádám-Sipos Áron András: A szextáns

2021.07.26
A szextáns
 
Bevezetés
Ma, a fejlett és a mindennapi életünkbe beépült technológiáknak köszönhetően (pl. GPS), sokszor elfelejtjük, hogy valójában milyen nagy kihívás is volt a múlt embere számára a pontos helymeghatározás. Erre a problémára a történelem folyama során több megoldás is érkezett; azonban a GPS koráig (20.sz.) semmi nem volt olyan pontos és olyan egyszerűen használható, mint a sextáns. Ebben az esszében be szeretnénk mutatni ennek a csodálatos műszernek a működését és azokat a matematikai elveket, amik lehetővé teszik funkcionalitását, és válaszolni szeretnénk arra a kérdésre, hogy vajon a sextáns ma is alkalmas-e a pontos helymeghatározásra?
Történelmi áttekintés
A földrajzi felfedezések korában (XVI. sz. eleje) ugrásszerűen megnőtt a hosszabb távú, sokszor óceánokon is átívelő hajózások száma, létrehozva egy eddiginél szükségszerűbb igényt a pontos tengeri helymeghatározásra. Az első működő megoldást erre az igényre a XVI. században kifejlesztett Jákob botja adta (1. ábra), ami elsőként volt képes egyszerűen és pontosan megadni a földrajzi szélességet (Szabó, 2004). Azonban a kor limitációi miatt a földrajzi hosszúsággal gondok akadtak: a Jákob botjának, működéséből fakadóan szüksége lett volna a hosszúság megadásához minimum egy, a greenwichi időt állandó tengeri mozgásban is pontosan mutató órára, amik ekkor, az ingaórák korában még nem voltak elérhetőek („Cifu”, 2018). Ez gátolta a Jákob botját a hatékony és pontos helymeghatározásban, így egyértelművé vált, hogy a pontos tengeri navigációhoz szükséges egy újfajta, tengeren is biztos időt mutató óra. A problémára a 18. században John Harrison kínált először megoldást, aki feltalálta a zsebórát, így létrehozva egy olyan időmérésre alkalmas műszert, ami pontosan használható a tengeren is. Ezzel egy időben kezdett elterjedni egy másik eszköz is, ami a Jákob botjánál egyszerűbb használattal pontosabb mérést biztosított, így felváltva az akkor már elavultnak számító elődjét. Ez a készülék a sextáns (2. ábra) volt, ami Harrison órájával együtt megreformálta a tengeri navigációt (Réti, ismeretlen). 
          
Matematikai és csillagászati háttér
Koordináta-rendszerek
A szextáns működési elvének bemutatásához szükséges néhány csillagászati alapismeret, jelen esetben az égitestek elhelyezkedésével foglalkozó szferikus csillagászat alapelveinek megértése. Szferikus csillagászatban irrelevánsak az égitestek valódi távolságai, emiatt úgy lehet venni, hogy minden vizsgált objektum egy egységsugarú gömbön helyezkedik el. Emiatt a csillagok helyzetét polárkoordináta-rendszer használatával kényelmes leírni (hiszen így csak kettő szöget kell megadni). Szferikus csillagászatban többféle polárkoordináta-rendszert is használnak, attól függően, hogy melyik a legkézenfekvőbb. Mindegyik polárkoordináta-rendszert négy tulajdonsága határoz meg: egy középpont, egy alapsík (ahonnan a szélességi fokokat mérjük), egy (az alapsíkban lévő) alapirány (ahonnan a hosszúsági fokokat mérjük) és egy körüljárási irány (amerre a hosszúsági fokokat mérjük)(Nagyváradi és Gyenizse, 2010). Ebben az esszében az I. és II. ekvatoriális (polár) koordináta-rendszer fog bemutatásra kerülni.
Az I. ekvatoriális koordináta-rendszer (3. ábra) a Földet veszi középpontjaként, alapsíkja az Egyenlítő meghosszabbítása (az ún. égi egyenlítő), alapiránya dél, a körüljárás iránya pedig negatív, azaz az óramutató járásával megegyező irányú. A csillag helyét két koordináta határozza meg: az első koordinátát a deklináció, ami az égi egyenlítőhöz képesti eltérést mutatja az északi és a déli pólus között (erre nagyon hasonlít a Föld felszínén a földrajzi szélesség), míg a második koordinátát az ún. óraszög adja meg, ami az égi egyenlítő síkjában mérhető a fentebb leírtak szerint dél felől, mértékegysége pedig óra (így pont azt adja meg, hogy egy csillag mennyi ideje delelt, aminek segítségével később ki lehet számolni a földrajzi hosszúságot).
      
A II. ekvatoriális koordináta-rendszer (4. ábra) jelentősen különbözik az előbb bemutatott koordináta rendszertől. Az első különbség az alapiránynál jelentkezik: itt nem dél az alapirány, hanem a tavaszpont (az a pont, ahol a Nap átlép a déli féltekről az északira, ez tradicionálisan március 21-e körül, a nap-éj egyenlőségkor történik), a körüljárás iránya pedig pozitív, azaz ellentétes az óramutató járásának irányával. A csillag helyét meghatározó koordináták közül az egyik továbbra is a deklináció, azonban a másik koordináta értékét a rektaszcenzió adja meg: ez tulajdonképpen az óraszög, csak a tavaszponttól, és ellentétes irányban számítva. Mértékegysége ugyanúgy óra. Egy lényeges különbség van még az I. és II. ekvatoriális koordináta-rendszer közt: míg egy csillag óraszöge folyamatosan változik, rektaszcenziója időben állandó (Nagyváradi és Gyenizse, 2010).
  
Az utolsó fontos fogalom, amit még be kell vezetni, az a csillagidő. Definíció szerint a csillagidő nem más, mint a tavaszpont óraszöge. Azonban a tavaszpontot nem jelöli se egy fényes csillag, se egy nagy piros X az égbolton, emiatt a csillagidőt nagyon nehéz közvetlenül mérni. Szerencsére a csillagászok már kidolgoztak erre egy egyszerű megoldást: mivel egy csillag óraszöge a delelés óta eltelt időt, a rektaszcenziója pedig a tavaszponttól mért távolságot adja meg, ha összeadjuk ezt a két értéket, megkaphatjuk a tavaszpont óraszögét (5. ábra)(Balázs, 1997 és Dr. Gábris, dr. Marik és dr. Szabó, 1999).
  
Ezen kívül még fontos megemlíteni, hogy mivel a csillagidőt a csillagokhoz, a szoláris (általunk a mindennapokban használt) időt pedig a Naphoz viszonyítjuk, a kétféle idő máshogy telik (6. ábra), így eltérések keletkezhetnek, amikre számolásnál oda kell figyelni. Egy csillagnap és egy szoláris nap közti eltérés:
1 év=365,25 szoláris nap=366,25 csillagnap
→1 csillagnap=365,25/366,25  szoláris nap
→1 szoláris nap-1 csillagnap=(1-365,25/366,25)  szoláris nap
=0,00273 szoláris nap≈4 perc
 
 
 
Gömbi geometria
Az eddigiek alapján már meg tudjuk adni, hogy melyik csillag hol helyezkedik el, azonban felmerülhet az igény csillagok távolságának meghatározására, illetve különböző koordináta-rendszerek közötti átváltásra. Ebben segítség a gömbi geometria, ahol nem a síkon, hanem egy gömb felszínén vannak az alakzatok vizsgálva. Nézzük meg, hogy az egyszerűbb síkbeli alakzatok minek felelnek meg a gömb felszínén (Ambrus, et.al., 2002):
A legegyszerűbb alakzat a gömbön is a pont.
A sík egyeneseinek helyét a gömbi főkörök (a gömb középpontján átmenő síkok által a gömbből kimetszett körök) veszik át
Kettő pont egy főkörön való elhelyezése esetén a két keletkező főkörívből a nem nagyobbat gömbi szakasznak nevezzük.
Ezen szakaszok hossza jellemezhető a két végpontba húzott sugarak által bezárt szöggel.
Két gömbi szakasz által bezárt szög alatt a két szakaszt meghatározó síkok által bezárt szöget értjük.
Ha három (nem egy főkörre eső) pontot gömbi szakaszokkal összekötünk, akkor a létrejövő két alakzatból a nem nagyobbat gömbháromszögnek nevezzük (7. ábra).
Ugyanúgy, mint a síkháromszögeknél, a gömbháromszögek oldalai és szögei közt is találhatunk összefüggéseket:
Gömbi szinusztétel: sin⁡a/sin⁡b =sin⁡α/sin⁡β 
Gömbi koszinusztétel: cos⁡a=cos⁡b  cos⁡c+sin⁡b  sin⁡c  cos⁡α
Ezen tételek bizonyítása meghaladja cikkünk kereteit, emiatt ezeket nem mutatjuk be.
      
Elmélet a gyakorlatban
Nappali mérések
Most már rá is lehet térni a földrajzi koordináták gyakorlati meghatározására. Nappal és éjszaka is meg tudjuk határozni szextáns segítségével a helyzetünket; az előbbivel szeretnénk kezdeni. Ahhoz, hogy napközben meg tudjuk határozni a földrajzi koordinátáinkat, két adatra van szükségünk: mikor delel a Nap greenwichi idő szerint és ekkor milyen magasan van. A 8. ábra alapján, ha 90°-hoz hozzáadjuk a földrajzi szélességet, a Nap magasságát és levonjuk a deklinációját, 180°-ot kapunk. Ezt a földrajzi szélességre rendezve a következő egyenlethez jutunk (Nagyváradi és Gyenizse, 2010):
█(φ=180°-(90°+h-δ)=90°-h+δ #(1)  )
ahol h a magasság és δ a deklináció. A Nap deklinációját táblázatokból vagy tengeri almanachokból lehet kiolvasni.
          
A földrajzi hosszúságot (λ) pedig arányosítással lehet meghatározni: a Föld 24 óra alatt fordul körbe 360°-ot, továbbá kétszer annyi idő alatt kétszer olyan sokat fordul el, így, az, hogy Greenwichihez képest mennyit fordultunk el, tehát a földrajzi hosszúság, az alábbi módon számolható:
█(λ/Δt=(360°)/24h  →λ=(360°)/24h⋅Δt #(2) )
ahol Δt a greenwich-i és a hely idő különbsége.
Azonban ez még nem a teljesen pontos képlet. Több okból kifolyólag (például, mivel a Föld nem kör, hanem ellipszispályán kering), a Nap nem egyenletesen halad az égen, emiatt az óráink által mutatott ’dél’ nem mindig ugyanakkor van, mint amikor a Nap ténylegesen delel. A legnagyobb eltérés akár 16 perc is lehet, ami a fenti (2) képlet alapján 4° eltérést eredményezne a mért és a valós adat között, ami már nem hagyható figyelmen kívül. Azt, hogy pontosan mennyi ez az eltérés az év egyik napján, az időegyenlet (9. ábra) adja meg. Emiatt a fenti képletben levő Δt értéket az időegyenletről leolvasott k korrekcióval kell kijavítani (Dr. Szatmári, et. al., 2011). Az új, most már pontos egyenlet:
█(λ=(360°)/24h⋅(Δt+k)  #(3) )
 
 
Emellett van még egy bökkenő: nagyon nehéz megmondani, hogy egy adott pillanatban a Nap éppen delel, delelés előtt vagy már utána van. Emiatt egy nap többször is meg kell mérni a Nap magasságát, ezt koordináta-rendszerben ábrázolni és leolvasni a maximumot, hogy megkapjuk a keresett értékeket.
Éjjeli helymeghatározás
Most nézzük meg, hogy hogyan tudjuk meghatározni a helyzetünket éjszaka. A szélesség egyszerűen a sarkcsillag magasságának megmérésével megkapható, hiszen ez és a földrajzi szélesség egyenlő (10. ábra).
          
A hosszúság meghatározása egy kicsit bonyolultabb. A módszer hasonlít a nappal alkalmazottra: meghatározzuk a helyi időt Greenwich-ben és nálunk, ezekből pedig kiszámoljuk a hosszúságot. Azonban, mivel most nem a Napot használjuk, csillagidővel kell dolgoznunk. A greenwich-i csillagidőt (Greenwich Sideral Time = GST) a dátumból lehet kiszámolni: tudjuk, hogy naponta négy perccel nő a csillag- és szoláris idő közötti különbség, illetve azt, hogy az őszi napéjegyenlőségkor egyenlőek (éjfélkor mindkettő 00:00). Ezek alapján meghatározható az aktuális eltérés és hozzáadható a csillagidőre korrigált, greenwich-i szoláris időhöz:
█(GST=n⋅4 perc+t⋅366,25/365,25   #(4) )
ahol n a szeptember 21. óta eltelt napok száma, t a greenwichi szoláris idő. A mi helyi csillagidőnket kétféleképpen is meg lehet határozni. Az első módszernél felhasználjuk, hogy tudjuk, hogy egy csillag óraszöge 0h deleléskor, tehát a csillagidő egyenlő egy delelő csillag rektaszcenziójával (ami egy táblázatból kinézhető, hiszen állandó). Azt pedig, hogy mikor delel egy csillag, a nappal használt módszerrel tudható meg (Dr. Gábris, dr. Marik és dr. Szabó, 1999).
Egy másik módszer, hogy megmérjük egy csillag magasságát és ezt váltjuk át óraszögbe. Ahhoz, hogy ezt megtehessük, szükségünk lesz egy gömbháromszögre (11. ábra).
A három csúcsa legyen a zenit, az égi pólus és a kiválasztott csillag.
Mint látható, a háromszög oldalait és egyik szögét kifejezhetjük a magassággal, a deklinációval, a földrajzi szélességgel és a keresett óraszöggel.
A háromszögre felírva egy gömbi koszinusztételt, trigonometriai azonosságokat felhasználva és az egyenletet átrendezve kapunk is egy kifejezést az óraszögre:
cos⁡(90°-h)=cos⁡(90°-δ)⋅cos⁡(90°-φ)+sin⁡(90°-δ)⋅sin⁡(90°-φ)⋅cos⁡t
sin⁡h=sin⁡δ⋅sin⁡φ+cos⁡δ⋅cos⁡φ⋅cos⁡t
█(cos⁡t=(sin⁡h-sin⁡δ⋅sin⁡φ)/(cos⁡δ⋅cos⁡φ )  #(5) )
 
  
Innen már csak a (3) képletet kell használjuk, hogy megkapjuk a hosszúságot. Habár ez a módszer több számolást igényel, gyorsabb és bármikor, bármelyik csillagra használható (nem fontos, hogy delel-e)(Dr. Gábris, dr. Marik és dr. Szabó, 1999).
Mérési eszközök és eredmények
Ezeket az ismereteket felhasználva mi is végeztünk méréseket, melyekhez saját szextánst építettünk (12. ábra). A szextáns elkészítése nagyon egyszerű: mindössze hozzáragasztottunk egy szögmérőt, egy lézert és egy fonálon lógó súlyt egy egyenes vonalzóhoz. Használata sem nehéz: napközben úgy kell tartani az eszközt, hogy a lehető legkisebb árnyékot vesse, este pedig a lézerrel kell célozni az adott csillagra, hogy végül mind a két esetben le tudjuk olvasni a szögmérőről a fonál által mutatott értéket. Ezt az értéket pedig ki kell vonni 90°-ból, mivel az eszköz akkor mutat 90°-ot, amikor vízszintes (tehát a magasság 0°).
 
 
Először nappal, a Nap segítségével, Budapesten végeztük el többször a méréseket (1. táblázat és 13. ábra). A mérést február elején végeztük, tehát k≈-13 perc. Az eredményekből látható, hogy a Nap kb. 11:52-kor delelt. Mivel Greenwichben előbb delelt a Nap, mint Budapesten, ezért Greenwichtől keletre vagyunk. Ezek alapján a földrajzi hosszúságunk 20°15’ keletre, az északi szélességünk pedig 43°16’, ami első körben nem is tér el annyira a valóstól (é. sz. 47°30', k. h. 19° 02').
Mérés időpontja 11:40 11:45 11:50 11:52 11:55 12:00
Mérés eredménye (magasság, h) 22° 22,5° 23,5° 25° 24° 23°
Nap deklinációja -21°44’ -21°44’ -21°44’ -21°44’ -21°44’ -21°44’
Földrajzi szélesség 46°16’ 45°46’ 44°46’ 43°16’ 44°16’ 45°16’
 
 
 
A méréseket éjszaka is elvégeztük. A csillagnak a Sas csillagkép egyik csillagát, az Altairt választottuk (14. ábra), a mérést szeptember 6-án 21:31-kor végeztük. A mérések eredményei a 2. táblázatban láthatók. Ezek alapján, az (5) képletet használva a földrajzi szélességre é.sz. 44°-ot, a hosszúságra k.h. 15°-ot kaptunk.
1. mérés 2. mérés 3. mérés átlag
Sarkcsillag magassága (°) 45 44 43 44
Altair magassága (°) 48 50 48 48 2/3
 
  
A mérések alapján ezzel a szextánssal kb. 5°-os pontossággal meg tudjuk határozni a helyzetünket (15. ábra), habár a mi házi készítésű szextánsunk sokkal pontatlanabb, mint a gyárilag készített szextánsok. Ez az eltérés több, az eszköz elkészítésekor és használatakor jelentkező hibák összessége. Ilyen hiba lehet például, hogy a lézer nem teljesen párhuzamos a szögmérővel, nem sikerült megtalálni a lehető legkisebb árnyékot nappali méréseknél és hogy a szögmérő beosztása miatt csak szög pontossággal olvashatók le az adatok.
  
Összefoglalás
A szextáns már a 18. század óta fontos szerepet játszik a tengeri navigálásban. Habár léteznek bonyolult, és ezáltal nagyon pontos szextánsok is, egyszerűbb változataik akár könnyedén, otthoni eszközökből is elkészíthetők. Használatuk is igen egyszerű, azonban a mért adatok kiértékelése már valamivel bonyolultabb. Ennek kapcsán került szóba a szferikus csillagászat és a gömbi geometria, melyek segítettek a mért adatokból a koordináták kiszámításában. A méréseket és a számolásokat mi is elvégeztük az általunk épített szextánssal. Az eredmények alapján azt mondhatjuk, hogy habár jóval pontatlanabb, mint a ma használatos helymeghatározó eszközök, egy pontosabb műszer hiánya vagy rossz műholdas lefedettség esetén hasznosnak ígérkezhet a helyzetünk közelítőleges meghatározásában.
 
 
 
Források
Szöveg forrásai:
Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István (2002): Új matematikai mozaik, Typotex Kft. Elektronikus kiadó, Budapest
Balázs Béla (1997): ’Kronosz meghódított birodalma. Az idő mérése’, Természet Világa, 128. évfolyam 11. szám, 485-490. o. Elérhető itt: http://www.termeszetvilaga.hu/tv9711/kronosz.html (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
“Cifu” (2018): ‘A navigáció rövid története’, Logout.hu, Január 8. Elérhető itt: https://logout.hu/cikk/a_navigacio_rovid_tortenete_avagy_eg_kemlelesetol/a_navigacio_alapjai.html  (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
Dr. Gábris Gyula, dr. Marik Miklós, dr. Szabó József (1999): Csillagászati Földrajz, ’Az időszámítás’. Nemzeti Tankönyvkiadó, Magyarország. Elérhető itt: https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_519_42294_1/ch03s07.html (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
Dr. Szatmári Károly, Dr. Székely Péter, Szalai Tamás, Dr. Szabó M. Gyula (2011): 'Csillagászat', elektronikus segédanyag a fizika BSc és a földtudományi BSc szakos hallgatók számára, SZTE. Elérhető itt: http://astro.u-szeged.hu/oktatas/csillagaszat.html (utolsó megtekintés: 2020.01.03.)
Nagyváradi László, Gyenizse Péter (2010): ’Földgömbgyakorlatok’, PTE, 9., 14., 15. és 19. fejezet. Elérhető itt: http://tamop412a.ttk.pte.hu/files/foldrajz6/docbook/www/docbook.html (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
Réti András (ismeretlen): ‘A SEXTÁNS TÖVID TÖRTÉNETE’, Vitorlásvilág, Március 7. Elérhető itt: https://vitorlasvilag.hu/blog/a-szextans-rovid-tortenete/ (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
Szabó Péter Gábor (2004): ‘Jákob botja’, Műszaki szemle, SZTE. Elérhető itt: http://epa.oszk.hu/00000/00028/00021/pdf/musze_EPA00028_2004_27_039-043.pdf (utolsó megtekintés: 2021.01.03)
Ábrák:
1. ábra: National Technical Museum (ismeretlen): Jakubova hůl, 17. století: Obrázek 2 z 2, Ntm. Elérhető itt: http://www.ntm.cz/en/en-exponat/jakubova-hul (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
2. ábra: „Aenigmatis-3D” (ismeretlen): Sextant Nautical Orientation Free Photo, Needpix. Elérhető itt: https://www.needpix.com/photo/544092/sextant-nautical-orientation-meter-navigation-navy-3d-maritime-free-pictures (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
3. ábra: Saját ábra
4. ábra: Gyenizse Péter (1997): 14.1. ábra - A tavaszpont az égi egyenlítő és az ekliptika éggömbi metszéspontja, ahol a Nap délről észak felé lépi át az égi egyenlítőt, Földgömbgyakorlatok, 14. fejezet: Az ekvatoriális (egyenlítői) koordináta-rendszer kezdő órakörrel. Elérhető itt: http://tamop412a.ttk.pte.hu/files/foldrajz6/docbook/www/ch14.html (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
5-8.ábra: Saját ábrák
9. ábra: Dr. Szatmári Károly, Dr. Székely Péter, Szalai Tamás, Dr. Szabó M. Gyula (2011): 1.8 ábra – Az időegyenlítés görbéje az év folyamán, 3: Időkorrekciók. Elérhető itt: http://astro.u-szeged.hu/oktatas/csillagaszat/3_Ido_korrekciok/ido_korrekciok.htm (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
10-13. ábrák: Saját ábrák, képek és táblázatok
14. ábra: Plotner, Tommy (2016): The Aquila Constellation, Universe Today. Elérhető itt: https://www.universetoday.com/19592/aquila/ (utolsó megtekintés: 2021.01.03.)
15. ábra: saját táblázat és saját, Google Maps segítségével készített ábra