Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


MATEMATIKATÁBOR MINT A TEHETSÉGGONDOZÁS EGYIK FORMÁJA

2008.08.28
AKKREDITÁCIÓS DOLGOZAT
 
KUCZMANN ERIKA
COMENIUS GIMNÁZIUM, ZSELÍZ
 
MATEMATIKATÁBOR  MINT A TEHETSÉGGONDOZÁS EGYIK FORMÁJA
 
Hogyan szerveztem matematika táborokat?
Charles Simonyi, a Microsoft magyar származású vezető szoftverfejlesztője (az EXCEL, WORD programok megalkotója) nemrég a világűrben járt. Az általa alapított ösztöndíjat 2000-ben többek között Pósa Lajosnak ítélték. A díjat odaítélõ bizottság értékelése szerint: „A Charles Simonyi kutatói ösztöndíj Pósa személyében olyan kiváló matematikus munkáját segíti ki, aki a legendásan nagyszerû pedagógus Simonyi Károly professzorhoz hasonlóan szívügyének és hivatásának érzi a magas szintû tanítást, nevelést.” Pósa, aki 13 évesen cikket írt Erdős Pál világhírű matematikussal, eddigi életében több mint 150 tehetséggondozó matematikatábort szervezett. Néhányszor szemtanúja voltam annak, hogyan dolgozik a gyerekekkel. Ezek a foglalkozások, táborok igazi katarzist váltottak ki bennem, nagy hatással voltak rám, mint kezdő pedagógusra, s döntően meghatározták a gyerekekhez, a matematikatanításhoz fűződő viszonyomat, egész tanári pályafutásomat. A 2008 júliusában Debrecenben tartott vándorgyűlésen Pósa tanár úr is tartott egy fergeteges sikerű előadást A kérdezés öröme címmel. Tiszteletem, elismerésem és hálám jeléül szeretnék arról írni, hogyan szerveztem matematika-fizika tehetséggondozó táborokat szlovákiai 10–18 éves, főleg angol tagozatos –  átlagos matematikai képességű – gimnazisták részére.
Nem kis gonddal járt a tábor helyszínének kiválasztása. Két alkalommal a Párkány melletti Kovácspatakon tartottuk a tábort, közel a Dunához és az erdőhöz, a lekéri Pszichiátriai kórház üdülőjében. A 3. tábort Csiffáron rendeztük, egy erdei iskolában, a 4.-et pedig egy kis községben, Ipolyszakálloson, a Méhecske panzióban. Mindegyik táborban sikerült megfelelő körülményeket biztosítani a tanuláshoz, vittünk magunkkal táblákat, filctollakat. Ideálisak voltak a helyszínek, a természet lágy ölén senki sem zavarta elmélyült munkánkat.
A Szülői Szövetség segítségével sikerült úgy szerveznünk a táborokat, hogy a Pázmány Péter Alapítványtól kapott támogatásnak köszönhetően a gyerekeknek csak kb. 5600–7200 Ft-jukba került egy-egy tábor. Az első két tábor 2004 és 2005 júliusában volt és 8 napig tartott, az ötnapos 3. tábort 2006 szeptemberében tartottuk, a negyediket pedig 2008 januárjában, ez 4 napos volt. Az első két táborban két szülő biztosította az étkezést, a másik kettőben a szálláshelyen kapott ételt fogyasztottuk.
A napirend a következő volt: 7.00-kor ébresztő, majd reggeli torna, tisztálkodás és rendrakás. 8.00-kor reggeli, majd 8.30-tól 10.00-ig az 1.foglalkozás. 10.00-től 10.30-ig tízórai, 12.00-ig pedig a 2.foglalkozás. 12.30-kor ebédeltünk , ezt szabad program követte. 15.00-től 18.00-ig különféle vetélkedők zajlottak, 18.00-kor vacsora, 19.00-től 21.00-ig kvízek, filmvetítés, stratégiai játékok következtek. A takarodó 22.00-kor volt.
A táborban részt vevő gyerekek a zselízi Comenius Magyar Tanítási Nyelvű Gimnázium diákjai voltak, kis ötödikesektől kezdve egészen érettségire készülőkig. Először 2 csoportra bontottuk őket, és olyan feladatokat kaptak, amelyeket többnyire mindenki meg tudott oldani. A 20–25 gyermeket az addigi teljesítményük alapján később 4 csoportra osztottuk, mert a táborban négyen voltunk tanárok (Jalsovszky-Horváth Kinga, Soóky Krisztián, RNDr. Kuczmann Imre Ing. és én), s felváltva tartottuk nekik a matematika–fizika foglalkozásokat.
 
 
 
A táborban végzett munkáról
 
A hagyományos matematikaórákon a tanár előadást tart a diákoknak valamilyen új témáról, kimond néhány állítást, néha bizonyítás nélkül, ezt követi a módszer bemutatása, végül a diákok gyakorló feladatokkal birkóznak. Ez a megszokás kizárja a gyermekeket a megismerési folyamatból és passzív befogadásra kárhoztatja őket. A hagyományos tanítási módszer elsősorban a frontális osztálymunkához köthető, a gyerekek fontos kompetenciáit, úgy mint csoportmunka, együttműködés, magyarázóképesség, kritikai gondolkodás, kreativitás, empátiás képesség, komplex problémamegoldóképesség nem fejleszti eléggé.
Ezzel szemben állnak az új módszerek, a problémamegoldó gondolkodás különféle formái, mint pl.: Hobo módszer, Gordon módszer, probléma-alapú tanítás, heurisztikus módszer, brainstorming, projekt-alapú tanítás és a felfedeztető módszer, melynek egyik legnagyobb képviselője a 21 éve elhunyt Varga Tamás volt. Varga Tamás szorgalmazta az olyan tanítási módszerek elterjesztését az általános iskolákban, amelyek során a diákok nem passzív befogadók, hanem az új ismeret aktív felfedezői. A középiskolákban ugyanezt szerette volna elérni a Surányi János vezette kutatócsoport is, melynek Pósa Lajos is tagja volt.
Miért kedveltem meg a felfedeztető módszert, mint tanítási módszert? Ha ezzel a módszerrel tanítunk, azt várjuk el a gyerekektől, hogy az új ismeretekre maguktól jöjjenek rá, ez a munkamódszer aktivitást vár el tőlük. A felfedezés folyamata a diákok nagy részét erősen motiválja az önálló munkára. A tanítás során néhány fontos dolgot a tanárnak szem előtt kell tartania:
– A diákoknak minden szükséges ismeret és képesség birtokában kell lenniük.
– A diákoknak pontosan meg kell érteniük, mit várunk tőlük.
– Nagy részüknek képesnek kell lennie arra, hogy megoldja a feladatot.
Mint minden módszernek, ennek is vannak előnyei és hátrányai. A foglalkozást gondosan meg kell tervezni, mert a rosszul tervezett vagy vezetett tevékenység eredménye az lehet, hogy a diákok semmit sem tanulnak, és a sikertelenség miatt frusztrálódnak.
A végeredmény elpocsékolt idő és motivációcsökkenés. Le kell szögeznünk, hogy ez egy lassú, időigényes módszer, és természetesen nem is mindenható. A diákoknak változatlanul szükségük van az új megoldási módszerek gyakorlására, az új ismeretek megszilárdítására, s azokat be kell építeniük a saját kognitív hálójukba, összekapcsolni őket a már tanult ismeretekkel, fogalmakkal.
A matematikatáborok rendkívül alkalmasak a felfedeztető tanításra. Az óra végi csengő nem szakítja félbe a megkezdett gondolatot, a flow élményét jobban átélhetik. Főleg tehetséges, a versenyeken kiemelkedő eredményeket elért vagy legalábbis a matematikát kedvelő diákok jelentkeznek rá. Azt reméli az ember, hogy majd minden feladatot gond nélkül megoldanak. A helyzet azonban nem ilyen egyszerű. A gyerekek nem mindig tudják könnyen megoldani a kitűzött matematikafeladatokat, ezért időnként meg kell könnyíteni a munkájukat. Épp ezért kisebb, 3-4 fős csoportokra osztottuk őket, ők általában egy-egy évfolyamba is jártak, de a tudásszintjük mindenképpen hasonló volt. Így sokkal szívesebben, kitartóbban dolgoztak. Előfordult, hogy a diákok versenyezni akartak egymással, s a sikertelenség a gyengébbeknek kedvét szegte. Ezért az egyes csoportokat időnként elkülönítettük egymástól, kaptak időt arra, hogy a saját szobájukban gondolkozzanak a feladatokon. Néhány diákunknak koncentrációs zavara is volt, fáradékonyabbak voltak a társaiknál. A gondolkodásra szánt időt így ők tervezhették meg, ha elfáradtak, pihenésképp beszélgethettek, megvitathatták a megoldást. Ez a módszer a tanulók differenciálását is segítette, néhány feladatot csak a legügyesebbeknek adtunk fel.
Ezt követően az egyes csoportok újra egyesültek, és közösen megvitattuk az egyes megoldásokat, a diákok kérdéseket tehettek fel egymásnak, elmagyarázhatták, mit gondolnak egy adott problémáról. Újabb feladatokat is készíthettek a megoldott feladat kapcsán.
A táborok során a matematika különböző érdekes területeivel foglalkoztunk, úgymint: oszthatóság, számrendszerek, gráfelmélet, kombinatorika, valószínűségszámítás, tengelyes és középpontos tükrözés, szabályos testek, térgeometria, érdekességek a matematika történetéből, különböző matematikai, logikai játékok, gömbi geometria stb.
A tábor célja többek között a diákok felkészítése a különböző matematika versenyekre. Felső tagozatos tanítványaim sikeres megoldók a járási Pitagorasz versenyen, a Matematika Olimpián, a Zrínyi Ilona matematikaversenyen, a Kenguru, a Klokan versenyen, a felvidéki Katedra matematikai levelezőversenyben és annak Dunaszerdahelyen rendezett országos döntőjében rendszeresen az élmezőnyben végeznek, a legügyesebbek bekapcsolódnak a Bátaszéki versenybe, a TIT feladatmegoldó versenybe, a KÖMAL C pontversenybe, jó helyezést értek el a váci Boronkay György, a Genius Logicus és a szlovákul zajló MAKS levelező matematikaversenyen. A nagyobb gimnazisták bekapcsolódnak a Matematikai Olimpiába, a Felvidéki ill. a Nemzetközi Magyar matematikaversenybe és a MATBOJ szlovák nyelvű csapatversenybe is, jó helyezéseket érnek el a Kenguru, a Klokan ill. a Gordiusz versenyen.
A többség kedvencei a tesztversenyek, ezért a táboraimba mindig viszek ilyen jellegű feladatsorokat. Ezeken önállóan dolgoznak, a tábor során egyszer versenyt is rendezek számukra, majd a közös megbeszélés után a legjobbak jutalmat is kapnak, cukorka, csoki, ill. pirospontok, amelyeket a tanítás során beszámítok. Eleinte nehezebb volt olyan feladatokat találni, amelyeken a diákok szívesen és hosszasan gondolkodtak. De ahogy egyre jobban megismertem a képességeiket, könnyebb lett a dolgom. Sajnos, hiába hasonló az egyes csoportban dolgozók tudásszintje, azokat a feladatokat, amelyek gondolatmenetének leírását a versenyen megkövetelik, a többség kevésbé kedveli. A kimagasló tehetségű és dolgozni kész diákokkal ezért a tanév során matematikaszakkörön és azon kívül külön is foglalkozom.
Mutatok két 8.-os Pitagorasz feladatot: 1. A légy az óramutatós óra kerületén tud mozogni. A 3-as számtól az 5-ös számig 8 cm utat tett meg. Hány centimétert tett meg, amikor az 1-es számtól ment a 9-es számig? (Megoldás: 32 cm.)
2. Számítsd ki a besatírozott rész területét, ha a kis négyzetek oldala 2 cm. Az eredményt írd le négyzetmilliméterben! (Megoldás: 3800 )
A táboraim során eleinte nagyon zavart, hogy képtelen vagyok tartani a gyerekekkel az általam elkészített tervet, később beláttam, hogy hosszú távon sokkal hasznosabb, ha inkább kevesebb feladatot rágunk át, de azt alaposan. Rengeteg és sokféle feladatot vittem magammal, és a gyerekek pillanatnyi érdeklődését figyelembe véve alakult ki a végső feladatsor. Tapasztalataim szerint 4 óra naponta elég volt ahhoz, hogy kellően elfáradjanak. S hogy minél több mindent meg tudjak mutatni, minél több dolgot kipróbálhassanak, váltogattam a témákat, tevékenységformákat is. Pihenésképp mondjuk szabályos testek modelljeit készítettük el papírból vagy szívószálból. Pl. 4 szívószálból és 3 db fonalból Holló-Szabó Ferenc zsebtetraéderét, ez nagyon tetszett nekik.
A vágás, ragasztás, az origami nemcsak hogy közkedvelt, hanem egyúttal a manuális készségüket is fejleszti. Az elkészült munkák egyúttal más kompetenciaterületeiket is fejleszthetik, segítik a beszédet, az olvasást, fejlesztik a megfigyelőképességet, a térlátást és még az esztétikai érzéket is. A szabályos testek tulajdonságait is könnyebb volt megbeszélni, elemezni, táblázatba foglalni, rendszerezni, hogy melyiknek hány csúcsa, éle, lapja van, hiszen kezükbe vehették. S az elkészült műveket ajándékba, emlékbe haza is vihetik.
A foglalkozások elejére vagy végére olyan tevékenységformákat is tettem, amelyek az emlékező- és megfigyelőképességet is fejlesztik. Ezek pl. feladatlapon az ábrák közti különbségek felfedezésére irányulnak, ill. olyan játékos gyakorlatok, amelyek megalapozzák a foglalkozások jó hangulatát. Nagyon tetszett a gyerekeknek a Bum, bác! játék. A szabályai nagyon egyszerűek: a játékosok körbeállnak vagy ülnek és az első azt mondja: „Egy“, a második „Kettő“. Az a játékos, akinek sorszáma 3-mal osztható, vagy leírásában szerepel a hármas, azt mondja: „Bum!“, akinek sorszáma öttel osztható vagy a sorszám leírásában szerepel az ötös, „Bum!“-ot mond, akinek sorszáma pedig mindkét számmal osztható, az „Bum, bác!“-ot mond, és ha elfogynának a játékosok, tovább így megyünk körbe. Aki eltéveszti, zálogot ad, amit matematikai kérdésre adott helyes válasszal válthat ki.
A diákoknak nagyon tetszett az a kooperatív feladat, amelyet Pósa Lajos táborában láttam, ezt este csapatverseny egyik feladataként kapták: a gyerekeket két csoportra osztottam, minden egyes játékos kapott egy papírcetlit a homlokára, melyen egy-egy szám állt, mindenkinek más, de a két csoport tagjai ugyanazokat a számokat kapták. Én mindenkinek más számot adtam. Feladatul kapták, hogy csak mutogatással állítsák sorba magukat, vagyis rendezzék nagyság szerint a számokat. Az a csapat győzött, amelyik hamarabb elkészült.
Néha a foglalkozások közben pihentetésképpen villámkérdéseket kaptak, ezek nem voltak túl nehezek és cukorka járt a helyes válaszért. Ilyen kérdések lehetnek pl.:
1.                 Mennyi a –8, –7, –6, ..., 6, 7, 8, számok összege?
2.                 Hány olyan szám van, amelyik megegyezik az ellentettjével?
3.                 Hogyan lehet felosztani egy henger alakú tortát három vágással nyolc egyenlő részre?
 
A tábor folyamán ki szoktam tűzni naponta 3 olyan feladatot, amelynek megoldását másnap délig adhatják be, ezekből áll össze az egyéni pontverseny, ezek nehezebb feladatok. Ilyenek voltak a 7–8. osztályosok számára a Katedra levelezőverseny, ill. országos döntő feladatai pl.:
1.Van-e olyan háromjegyű prímszám, amelynek számjegyeit összeszorozva 10-et kapunk?
Megoldás: Három számjegy szorzata akkor lehet 10, ha a három számjegy 1, 2 és 5. Az utolsó számjegy azonban sem 2, sem 5 nem lehet, hiszen akkor a keletkező szám a kettőnek, ill. az 5-nek is többszöröse lenne. A lehetséges 251 és 521 számok mindegyike prímszám, tehát a feladatnak két megoldása van.
2. Számítsd ki a következő összegeket:
a) 
 (Megjegyzés: Nem számszerű eredményt kérünk. Hozd egyszerűbb alakra!)
b)  
Megoldás: a) A meghatározandó összeghez adjunk hozzá 1-et:
Következésképpen 2009! – 1.
b) Általánosan az elv hasonló:
Tehát:  = (n + 1)! – 1.
Ez a feladat azért nagyon jó, mert a gyerekek kísérleteket végezhetnek. Maga a faktoriális fogalmának a megértése is könnyű számukra. A sejtésen alapuló megoldásnak is örülök, kiváltképp ha a diák a sejtését igazolja is. Többen észreveszik, hogy a mind több tagból felírt összegek milyen törvényszerűség szerint növekednek:
1 . 1! = 1 = 2! – 1
1 . 1! + 2 . 2! = 5 = 3! – 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 23 = 4! – 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 119 = 5! – 1 stb.
Hogy a törvényszerűség valóban fennáll (tehát hogy nem véletlen az eredmények szabályos növekedése), konkrét számokkal és algebrailag is igazolható. Pl.: Figyeljük meg, hogy miképp keletkezik a fenti felsorolás 3. sorából a 4. sor eredménye:
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 4! – 1 + 4 . 4! = 4! + 4 . 4! – 1 = 4!(1 + 4) – 1 = 4! . 5 – 1 = 5! – 1
Általánosan:
Ha a k-adik sorban (k + 1)! – 1 az összeg, akkor a (k + 1)-edikben az összeg:
(k + 1)! – 1 + (k + 1)(k + 1)! = (k + 1)! + (k + 1)(k + 1)! – 1 = (k + 1)! . (1 + k + 1) – 1 = (k + 1)! . (k + 2) – 1 = (k + 2)! – 1
 
3.                 Hasonlóan jónak találom kísérletezésre az alábbi feladatot: Mennyi az összes olyan hatjegyű szám összege, amelyek számjegyei között csak 1-es vagy 2-es számjegy szerepel?
Megoldás: A gyerekek könnyen rájöhetnek az összegre, ha elemzik az egyes eseteket. A szóba jövő kétjegyű számok lehetnek: 11, 12, 21, 22, a számok mindkét helyiértékén csak az 1 vagy a 2 szerepel, a számok összege 6.11= 66. A háromjegyű számoknál: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, ezeket ha egymás alá írjuk, minden oszlopban 4 db egyes és 4 db kettes szerepel, az összeg tehát 12.111=1332. Tovább okoskodva: a hatjegyű számoknak mind a hat helyiértékén csak az 1 vagy a 2 szerepel, tehát összesen 26=64 ilyen szám van. Írjuk ezeket egymás alá! Bármelyik helyiérték oszlopában pontosan ugyanannyi (tehát 32) 1-es és 2-es szerepel. A számjegyek összege tehát minden oszlopban 32.1+32.2= 96. A keresett összeg tehát:
96. (105+104+103+102+10+1) = 96. 111111= 10 666 656.
Ez a feladat azért is tetszik, mert két legyet üthetünk vele egy csapásra. A megoldás során könnyen előfordulhat, hogy aki még nem szokta meg, hogy célszerűbb valamilyen rendszert követni és sorba rendezni egy elv szerint a szóba jöhető hatjegyű számokat, az kihagy esetleg egyet-kettőt, és fel lehet erre hívni a figyelmüket a feladat megbeszélésekor.
 
 A foglalkozásokon néha felvetek olyan problémát is, amely kihívás elé állítja a diákokat, a tábor végéig gondolkozhatnak rajta, megoldásuk nagy dicsőség és nagyobb csoki jár érte. Egy ilyen feladat pl. a következő:
 A frankfurti székhelyű Európai Központi Bank épülete előtt egy hatalmas méretű eurószimbólum található. Az eurószimbólumot az ábrán látható módon lehet megszerkeszteni, a méretek méterekben vannak kifejezve. (Megjegyzés: A BE, GH és IJ egyenesek párhuzamosak egymással.)
a) Szeretnénk ezt a szimbólumot kékre kifesteni. Kb. hány m2-nyi területet kell befestenünk? (2 m2-nyi eltérést elfogadunk.)
b) Szerkeszd meg az eurószimbólumot 1:100 méretarányban!
Megoldás: Az eurószimbólumon van két vízszintes sáv, ez két négyszög paraleogramma a megadott egyenesek párhuzamossága miatt, hosszabb oldala 10 m, magassága 1 m, tehát a két paralelogramma területe: 2. a. m = 2. 10.1= 20 m2.
Az eurószimbólum másik összetevője egy körgyűrű rész, területének kiszámításához a 280 fokos középponti szöghöz tartozó körgyűrű területét kell kiszámolnunk. A nagyobb kör sugara 6 m, a kisebbé pedig 5m. A körgyűrű területe:
280º. 6.6.π / 360º - 280º. 5.5.π / 360º = 10080º.π/ 360º - 7000º.π/ 360º =
=3080º. π/ 360º = 8,55. 3,14 = 26,86 m2.
A paralelogramma és a körgyűrű két kb. egy-egy m2 –nyi területen fedi egymás területét, ezt le kell vonni. Továbbá az eurószimbólum szerkesztésekor picit több a körgyűrű területe, mint maga a szimbólum görbe területe, ez becslés szerint 1 m2 –nyi eltérés, ezt is még le kell vonni az előbb kiszámolt területből. Tehát az eurószimbólum területe kb.:
20 + 26,86 – 3 = 43,86 m2 . ( Ha a gondolatmenet jó, 42 és 46 m2 közötti megoldásokat mind elfogadom.)
 
 
            A gyerekek szeretik a különféle becsapós feladatokat. Ilyen lehet pl.:
Annak bizonyítása, hogy        4=5.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a = b+ c.
Így                                         5a = 5b + 5c
 és                                          4a = 4b + 4c
A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy      
                          5a + 4b + 4c     = 5b + 5c + 4a.
Az egyenlet mindkét oldalából kivonva 9a-t kapjuk:
                           4b + 4c – 4a    =   5b + 5c – 5a .
Kiemeléssel:
                      4(b + c - a) = 5(b + c – a)
Végül mindkét oldalt elosztva a zárójeles kifejezésssel (b + c –a ) kapjuk, hogy
                          4 = 5 !
 
Megoldás: Feltételeztük, hogy a = b + c, innen b + c – a = 0. Az egyenlet megoldása során az utolsó sorban ezzel a kifejezésssel, azaz nullával osztottunk. Nullával viszont nem osztunk !
Relaxálásképp nagyon hasznosak és jók az olyan feladatok, mint: Rajzold meg egy ceruzavonással, gyufarejtvények. A gyerekek nagyon kedvelik a Katedra levelezőverseny decemberi fordulóiban megjelenő számkeresztrejtvényeket is, hasonlókat házi feladatként is szívesen oldanak meg másnapra, de versenyfeladatként is kitűzhetők. Ezeket én is nagyon szeretem, mert könnyű javítani... Másrészt, ha mindenkinek helyes az eredménye, akkor nem muszáj az adott feladatot részletesen megbeszélni, elég csak vázolni a megoldást. A könnyen javíthatóság miatt szintén jók a Pitagorasz, egyes Zrínyi és Kenguru feladatok.
Diákjaim rajonganak a különféle logi-sztorikért, közszájon forgó barkochba történetekért. Egy részüket Pósa Lajostól hallottam, másokra pedig Róka Sándor könyveiben találtam. Ezeket este szívesen oldják csapatjátékként, de kirándulásokkor is bevethetők. Pl.: Egy ember egy felhőkarcolóban lakik. Ha a feleségével megy haza, akkor mindig a 20. emeleten szállnak ki. Ha pedig egyedül, akkor a 3. emeleten. Miért? (Aki még nem adott fel a diákjainak ilyen történetet, annak feltétlenül ajánlom, nagyon jól fejleszti a gyermekek logikai gondolkodását, igen kreatív ötletekkel állnak elő. Ezek néha mulatságosak is: „Amikor egyedül van, akkor a szeretőjéhez megy?“)
A divergens gondolkodás fejlesztése
A fenti tevékenységek a diákok divergens gondolkodását is fejlesztik. Piaget szerint a tanítás fő célja olyan emberek nevelése, akik képesek új dolgokat alkotni, kreatívak, találékonyak, kíváncsiak. Minden gyermek kreatív képességekkel születik, és az a feladatunk, hogy olyan körülményeket alakítsunk ki, amelyek ezen képességeiket fejlesztik. Mik a megfelelő körülmények jellemzői? Mindenekelőtt lelki biztonság: feltétel nélküli elfogadás, az önértékelés növelése, a külső értékelés csökkentése, a világ gyerekszemmel való figyelése. Akarati tényezők, lelki szabadság: a gyermek magabiztos annyira, hogy ne féljen új dolgok kipróbálásától. Melyek azok a legfontosabb viselkedésmódok, melyek segítik a divergens gondolkodás fejlődését? Ha kivárjuk a gyerek gondolatait, érdeklődést mutatunk, együtt végzünk kísérleteket a diákokkal, buzdítjuk őket.
Diákjaink divergens gondolkodását olyan feladatokkal is fejleszthetjük, amelyekből sajnos kevés van tankönyveinkben. Néhányat találtam RNDr. Horváth Géza: Fejleszthető-e a kreativitás? c. könyvében.
 Oszd fel a 13 cm oldalú négyzetet olyan négyzetekre, melyek méretei egész számok! Elvárjuk, hogy a négyzetek között különböző méretűek is legyenek!
Megoldás: Az ábrán látható az egyik megoldás.

            Természetesen a divergens gondolkodás játékokkal is fejlesztehő. Miért játékokkal? Mert:
-                    nem szükséges hozzájuk semmilyen előtanulmány,
-                    a játékigény minden életkorra jellemző,
-                    sem a találgatás, sem a szerencse nem kap túl nagy szerepet,
-                    sikerélményt nyújt,
-                    a feladatok fokozatosan nehezednek.
Ezért a táborban esténként olyan stratégiai játékokat játszunk, mint a sakk, malom, abalone, blokus. Ezek a játékok annyira kedveltek, hogy belőlük tábori versenyt is rendezünk. De azért is hasznosak, mert fejlesztik a kombinációs készséget, a kitartást, a stratégiát, a térlátást, egyes játékok olyan geometriai fogalmakkal is kapcsolatosak, mint szakasz, szakaszok metszéspontja. Az abalone-t ketten játsszák, fehér és fekete golyók vannak a hatszög alakú táblán, ezeket lehet mozgatni mindenféle irányba a lyukak mentén. Az a játékos győz, aki az ellenfél golyói közül 5-öt kitol a játéktérből.
A blokus is egy kedvelt új játék. Egy olyan táblán játszhatja 2–4 játékos, amely 20x20 egyforma négyzetre van osztva. A sokszögek, amiket a táblára kell tenni, 1, 2, 3, 4 vagy 5 kis négyzetből állnak (ez utóbbiak a pentominók). Az első elemet a négyzet egy-egy sarkába rakják a játékosok, az a feladatuk, hogy minél nagyobb területet foglaljanak le, s ebben megakadályozzák a játékostársaikat. A játék végén az nyer, akinek a kezében a legkevesebb egységnégyzetből álló terület maradt. A játékszabályokat természetesen lehet variálni, 12 évesen a kisebbik fiam megalkotta már az antiblokust és társait is.
A SET-et 81 kártyával játsszuk, itt négyféle szín valamelyike közül van mindegyik kártyán egy-egy síkidom: háromszög, négyzet és kör az egyes színeken belül a színezések: tele, sráfozott vagy üres. A játék célja minél több szett (3 db valamilyen – kétféle – közös tulajdonságú kártya) gyűjtése. Ez pl. állhat a zöld üres négyzetből, körből, háromszögből. De szett pl. a kék, a piros és a zöld satírozott négyzet is.Az asztalra lerakunk néhány kártyát úgy, hogy mindenki láthassa, mi van felül. Aki 3 olyat lát, amely szettet alkot, azt kiáltja szett! Az nyer, aki a játék végére több szettet összegyűjt. Itt a síkidomok alakját, színét, színezettségét kell figyelniük, de a játék fejleszti a memóriát is.
A logikai készlettel is érdekes játékot lehet játszani. Gondolok egy elemére, s minél kevesebb kérdéssel állapítsák meg, mire gondoltam.
Az ördöglakat is fejleszti a kitartást, a térlátást. E játék kapcsán beszélhetünk a topológiáról is.
Az egyik táboromba elhívtam Kovács Zoltán docenst is, aki két nap alatt a gyerekeknek beszélt a minimálfelületekről, 20 különféle, érdekes játékot mutatott be, mint pl.: go, hexasakk, élet-játék, Hanoi tornyai, a 36 tiszt problémája. (Azóta gyűjtöm a kupakokat...)
 
 
Változatos szabadprogramok
 
A táborban a tanítás mellett különös gondot fordítunk a nagy személyiségnevelő hatású közös programokra. Szabadidejükben a táborozók rendszeresen sportolnak, Ipolyszakálloson ez szaunázást és úszást is jelentett. Rendezünk számukra:
– Sportversenyeket: futball, ping-pong, tollaslabda,
– Akadályversenyeket, ilyenkor az erdőben egymástól pár száz méternyire különböző állomáshelyeket alakítunk ki, s ott többek között számonkérjük a táborban tanult ismereteket (pl. egy eldobott frizbi kapcsán), ill. különféle játékos feladatokat kapnak. Ez lehet pl. az, hogy olvassanak el egy Morse ábécével írt mondatot. (Természetesen a kombinatorikai vonzatát egyik foglalkozáson már elemeztük.) Ezek a versenyek a kreativitást is fejlesztik, mert csatakiáltást, menetlevelet is kell készíteniük.
– Számháborút. Ezt is nagyon szeretik: két csoportot alakítunk ki, minden játékos kap a homlokára egy rajzlapra felírt négyjegyű számot (ez lehet római szám is). A támadó csapatnak meg kell találnia és meg kell szereznie a másik csapat zászlaját. Akinek a számát kiolvasták, kiesik.
– A bátorságpróba is sláger a gyerekeknél. Késő este a sötét erdőben egyedül kell megtenniük egy darabot. Közben a kreativitást is fejlesztjük: indulás előtt verset kell írniuk az Erdő Szelleméhez.
Tábori programunkat gazdagítják még:
– Rajzverseny, s amíg rajzolnak, nagy matematikusokról szóló szórakoztató történeteket olvasok fel nekik,
– Viccmesélőverseny, a mesélőnek közben nevetni tilos!
– IQ-kvíz, csapatverseny, különböző életkorú gyerekeket sorsolunk össze, nagyon szeretik,
– Tangram csapatverseny
– Csuhézás, gyöngyfűzés
– Kirándulás Esztergomba, a Duna Múzeumba, ill. a nyitrai várba és autószalonba
– Esténként rajz-, természet-, ismeretterjesztő filmek vetítése (pl. a gömbvillámról és más fizikai jelenségekről)
– a tábort utolsó este tábortűzzel, szalonnasütéssel zárjuk. Értékeljük a tábori munkát, a naposságban mindenkire sor kerül, ( a naposok feladata az asztalok megterítése étkezés előtt) Rumba csokit kapnak érte és eredményt hirdetünk a lezajlott versenyekben.
 
Konklúzió
 
A tábort egyhónapos lázas szervezőmunka előzi meg. Sem ez, sem maga a tábor nem könnyű. De nemcsak a gyerekeknek, nekünk felnőtteknek is rengeteg élményt nyújt. Nagyon fontos a táborozáshoz a kellemes környezet és elengedhetelenek hozzá a jó kollégák. A tábor célja az is, hogy mosolyt csaljunk a gyermekek arcára, és elérjük, hogy a tudásvágy számukra olyan fontos legyen, mint a szabadság, a jókedv, öröm, sikerélmény. Ezért is fontos, hogy a táborban aktív, örömteli életet éljenek és gazdag program várja őket.
A tábort a gyerekek mindig nagyon várják, ez bizonyítja létjogosultságát. Nemcsak a sokszínű szabadprogram miatt nagy a vonzereje. Szeretik az érdekes feladatokat, szívesen kísérleteznek, igen kedvelik a gömbi geometriával való foglalkozást is. A diákok a táborban nem hagyományos feladatokat oldanak meg, s több alkalmuk van kísérletezésre, mint a tanórákon. Sajnos, hiszen mindannyian a hagyományos szemléletű oktatás idején koptattuk az iskolapadot, s nehéz elszakadni a régi megszokott beidegződésektől. De érdemes.
Úgy gondolom, ahogy én átéltem Pósa Lajos táboraiban, szükséges, hogy a gyerekek is megtapasztalják a következőket: megértés, dicséret, pozitív hozzáállás, biztatás, támasz, a szellem boldog szabad szárnyalása. Rengeteget tanultam tőle, tudásom keretét a matematikatábor megszervezéséről ő adta. Persze, olyan művészi szinten, ahogy ő tanítja a gyerekeket, dolgozni lehetetlen. De törekednünk kell arra, hogy a tanulás során minden gyerek átélje az alkotó munka örömét, mert:
„A képzelet sokkal fontosabb, mint a tudás. A tudás véges. A képzelet felöleli az egész világot.“ (Albert Einstein)
           
                         
FELHASZNÁLT IRODALOM
                         
1. Dillingerová Monika: Problémové vyučovanie, Tvorba a realizácia problémových úloh so zameraním na geometriu základnej ąkoly. Dizertačná práca
2. Gordon Thomas: T.E.T- Teacher Effectiveness Training (A tanári hatékonyság fejlesztése), Gondolat, Budapest, 1990
3. Grätzer György: Elmesport egy esztendőre, Második kiadás, Nyitott könyvműhely, Budapest, 2008 , 38.old., 54. old., 134. old., 164.old.
4. Holt John: Iskolai kudarcok, Gondolat, Budapest, 1991
5. Horváth Géza: Fejleszthető-e az alkotóképesség?, Lilium Aurum, Dunajská Streda, 1997
6. Katedra – A szlovákiai magyar pedagógusok és szülők lapja, Dunajská Streda, 2006. szeptemberi, 2007 novemberi, decemberi, 2008 januári, februári, márciusi száma
7. Lénárt István: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön, Múzsák Kiadó, Budapest, 1997
    108-111. old.
8. Petraąková E: O jednom alternatívnom spôsobe vyučovania. In Pedagogické rozh?ády, ročník 11, číslo 2, Banská Bystrica, 2002
9. Pósa Lajos: Matematikai táboraim (Elhangzott a Charles Simonyi kutatói ösztöndíjak átadása alkalmából)Természet Világa, 132. évfolyam, 3. szám, 2001 március
10. Róka Sándor: Egypercesek, Feladatok matematikából 10-14 éveseknek, 36. old.
Tóth Könyvkereskedés és Kiadó Kft.
11. Róka Sándor: Újabb logi-sztorik, Tóth Könyvkereskedés és Kiadó Kft.
(A szlovákiai Pitagorasz és Matematika Olimpia feladatok honlapja)
13. www.gombigeometria.eoldal.hu (web-oldalam, itt képeket is találnak többek között a matematika táboraimról is)
https://gombigeometria.eoldal.hu/archiv/uploaded/8 (a Fejezetek a matematikatanítás módszertanából végzett e-learning kurzusra írt zárómunkám)